뭐 이 시리즈 포스팅을 읽는 사람은 없으리라고 생각하지만, 그래도 오기가 생기니 올려본다. -_-
이거 원래 총 세 번의 포스트로 끝내려 했는데, 분량이 너무 많아서 세 번에 안될 것 같다....

주의 : 이 시리즈 포스트의 모든 내용은 각종 서적의 내용을 읽고 독학한 내용이므로 오류를 포함하고 있을 가능성이 있다.


증명에 필요한 각종 제타함수의 성질을 정리해 보았다.

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0. notation >
보통 복소변수는 z = x + yi 를 많이 쓰지만 이 제타함수만큼은 s = σ + it 를 자주 쓰는 것 같다. 이건 걍 관습이니 묻지마시길.

1. direction >
앞으로의 증명을 위해 다음 함수를 Re(s) ≥ 1인 영역에서 contour integration할 예정이다.이 작업을 하기 위해서는 다음과 같은 정보가 필요하다.

1. Re(s) ≥ 1에서 ζ(s)가 영이 되지는 않는지?
   
2. 적분하려는 위 함수가 Re(s) ≥ 1 에서 analytic 한지?
   
3. Re(s) ≥ 1에서 |ζ'(s)/ζ(s)|가 어떤 크기에 bound 되는가?

자 이제부터 이 의문을 해결해보자.


2. theorem >
Re(s) > 1에서 ζ(s) ≠ 0 이다.

2-1. proof of theorem 2 >
범위에서 1 이 빠졌다는 사실에 주목하자. 처음에는 Problems in analytic number theory라는 책을 참고했는데, 이 책의 증명은 잘못되었다. 제타함수를 Euler product formular로 바꾼 후, 각각의 인수가 영보다 크다는 증명을 했는데, 그래도 infinite product는 영에 수렴할 수 있으므로 그것으로는 불충분하다.

그래서 본인이 좀 더 제대로 된 증명을 검색하여 찾아냈다. 이 사이트의 내용을 참조하였다.

s의 실수부가 1보다 크므로 제타함수를 오일러 무한 곱으로 표현할 수 있다.제타함수의 값이 영이 되지 않음을 보이는 것은, 제타함수의 절대값의 로그가 음의 무한대가 되지 않음과 동치이다. 즉, log |ζ(s)| > -∞ 임을 보이면 된다. 그런데 이 로그식은 다음과 같이 변형가능하다.결국 -1/2을 떼네면 위 무한급수가 수렴함을 보이는 문제와 동일하고 다시 로그를 합쳐서 무한곱으로 바꾸면이 무한곱이 수렴함을 보이는 문제가 된다. 그런데 무한곱에 관한 기초적인 정리중에 다음과 같은 정리가 있다.
∑a_n이 수렴하는 것과 ∏(1 + a_n) 이 수렴하는 것은 동치이다.
증명은 어렵지 않다. infinite product에 관한 내용을 다룬 어느 책이든 나온다. 어쨌든 따라서 목표는 다음 급수가 수렴하는가를 판정하면 되는 것으로 바뀐다.그런데 다음과 같이 간단한 부등식을 만들 수 있다.σ 가 1보다 크므로 이 급수는 수렴한다.


3. direction >
자, 이제 실수부가 1인 Re(s) = 1 일 때가 문제이다. 이를 증명하기 위해 정리 3-1부터 3-5 까지 일련의 정리들이 필요하다.


3-1. theorem >
σ > 1 일 때, 모든 자연수 N에 대해 다음이 성립한다.참고한 두 책에는 모두 Euler's summation formular라는 이름의 공식을 이용해서 위 식을 증명하고 있는데, 일전에 소개한 Abel's identity와 별반 차이가 없는 것을 공식이랍시고 괜히 두 번 계산하고 있으므로 하나로 줄였다. 이 등식은 제타함수와 그 미분된 함수의 bound를 만들기 위해 필요하다. 이 제타함수의 등식은 쓸모가 많으므로 기억해 두도록 하자.

3-1-1. proof of theorem 3-1 >
part 1의 정리 4 Abel's identity에 a(n)의 값이 모든 자연수에 대해 1인 수론적 함수(arithmetic function)를 대입한다. 그러면 자연적으로 A(x) = [x]가 된다. 여기에 구간 [N, ∞] 위에서 f(x) = 1/x^s를 대입한다. 그러면 다음과 같은 등식이 된다. (혹은 구간 [N, x]를 쓴 다음 x 를 무한대로 밀어버려도 된다. 물론 N은 자연수.)이 식은 다음과 같이 바꿀 수 있다.이것을 계산해서 정리하면 위 정리의 등식이 된다.


3-2. theorem >
다음 극한이 성립한다.lim_{s → 1+}(s - 1)ζ(s) = 1
제타함수에 1 을 대입했을 때 harmonic series가 되어서 발산하긴 하는데, 사실 이게 발산속도가 꽤 느려서 이 정도만 곱해도 쉽게 수렴함을 눈치챌 수 있다. 이 사실로부터 제타함수는 1 에서 simple pole을 가짐을 알 수 있다. 이게 중요한데, 이후에 계산할 ζ'(s)/ζ(s) + 1/(s - 1)이 1에서 analytic 하다는 결론을 이끌 수 있다.

3-2-1. proof of theorem 3-2 >
위 정리 3-1의 공식에 N = 1 을 대입하면 다음의 등식을 얻을 수 있다.여기에 양변에 s - 1 을 곱하면 다음 등식이 된다.우측 피적분 함수는 1/x^s+1에 bound 되므로 s 를 1+로 보내면 죽는다는 걸 계산하면 알 수 있다. 따라서 위 극한이 성립한다.


3-3. theorem > logarithm of zeta function
σ > 1 일 때, 다음의 등식이 성립한다.여기서 G(s)는 다음과 같다.
3-3-1. proof of theorem 3-3 >
|z| < 1 이면 ∑ z^{n - 1} = 1/(1 - z) 이므로, 이 함수를 h'(z)라 두자. 그러면 (1 - z)e^h(z)를 미분하면 0 이 되므로 이 함수는 상수함수가 됨을 알 수 있다.
결국 h(z) = c + ∑ zⁿ/n 이 되는데, z = 0 을 대입하면 c가 되므로 e^h(0) = e^c = 1/(1 - z) = 1 이므로 c = 0 임을 알 수 있다. 게다가 |z| < 1/2 이면 |h(z)| ≤ ∑ |z|^m = |z|/(1 - |z|) ≤ 2|z| 이므로 2|z|에 bound 된다. 그리하여라고 쓰면 이 지수부분의 무한합이 G(s)가 되어야 함을 알 수 있다. 즉,이 되는데 여기서 두 시그마의 위치를 바꾸어야 한다. 이때 double series에서의 absolute convergence가 필요한데, s의 실수부가 1보다 크므로 가능하다. 위치를 바꾸고 나면 G(s)가 위의 정리의 형태가 됨을 알 수 있다.


3-4. theorem >
σ > 1 일 때, 다음의 부등식이 성립한다.
3-4-1. proof of theorem 3-4 >
정리 3-1에서 다음 등식이 성립함을 알 수 있다.따라서 제타함수의 절대값은 코사인을 빼내면 된다.위 절대값을 구하는 과정을 s = σ, s = σ + it, s = σ + 2it 에 대해 세 번 구해서 곱해주면 다음의 등식을 얻는다.그런데 다음의 삼각함수에 관한 절대부등식이 성립한다.따라서 위 지수부분이 항상 양임을 알 수 있고 그래서 정리의 부등식이 성립함을 알 수 있다.


3-5. theorem >
모든 0 이 아닌 실수 t에 대해 ζ(1 + it) ≠ 0 이다.

3-5-1. proof of theorem 3-5 >
σ > 1 일 때, 정리 3-2의 식을 다음과 같이 바꿀 수 있다.이제 σ → 1+ 를 취해보자. 세 개의 factor중 가장 좌측부는 정리 3-2에 의해 극한이 1임을 알 수 있다. 만약 ζ(1 + it) = 0 을 만족하는 어떤 t가 존재한다면, 중앙의 항은 제타함수를 미분한 값이 될 것이다. 즉, σ가 1+ 에 다가가면따라서 제타함수가 직선 Re(s) = 1 위 어느 지점에서 0 이 된다면 위 부등식의 좌변은 어떤 실수에 수렴하게 된다. 그러나 우변은 값이 무한히 커진다. 따라서 모순이다.


4. theorem >
다음 함수는 직선 Re(s) = 1 위에서 analytic 하다.
4-1. proof of theorem 4 >
다른 건 모두 해결되는데 s = 1 일때, 제타함수가 발산하므로, 이 한 점에서는 해결이 아직 되지 않았다. 정리 3-2에서 제타함수는 s = 1 에서 simple pole 이라는 걸 알 수 있으므로, ζ(s) = f(s)/(s - 1) 라고 두면 f(s)는 s = 1 위에서 analytic하고 f(1) ≠ 0 임을 알 수 있다. 따라서 이 식을 미분하면 ζ'(s) = f'(s)/(s - 1) - f'(s)/(s - 1)² 이 된다. 양변을 ζ(s)로 나누면 ζ'/ζ = f'/f - 1/(s - 1) 이므로 원하는 식이 f'/f 와 같음을 알 수 있다. 이 식은 s = 1 위에서 analytic하다.


5. direction >
자, 이제 제타함수의 bound가 필요하다. 그래야 저 함수를 contour integration 할 때 bound로 가둬서 극한값을 구할 수 있기 때문이다. 정리 5-1부터 5-2까지는 upper bound를 찾는 과정이고 5-3은 lower bound를 찾는 과정이다. 다음의 정리들을 보자.


5-1. theorem > The bound of |ζ(s)|
σ ≥ 1 이고 t > e 일 때, 다음이 성립한다.|ζ(s)| = O(log t)

5-1-1. proof of theorem 5-1 >
σ > 2 일 경우, |ζ(s)| > |ζ(2)| 이므로, 이 구역에서는 이미 위 big O notation을 만족한다. 그러므로 1 ≤ σ ≤ 2 에서 성립함을 보이면 된다.

σ 가 1 과 2 사이에 있을 경우 t 는 이미 2 보다 크므로, |s| ≤ σ + t ≤ 2 + t ≤ 2t 이다. 또한 |s - 1| ≥ |it| = t 이므로, 정리 3-1의 양변에 절대값을 씌우면 다음과 같다.이 식은 모든 자연수 N 에 대해 성립한다는 사실을 잊지말자. 따라서 N = [t] 라고 둘 수 있다. 그러면, 세 항 중에 우측 두 항은 모두 상수에 bound 됨을 알 수 있다. 세 항 중 맨 첫 번째 항인 harmonic series의 부분합은 적분판정에 의해 쉽게 log t 에 bound 됨을 알 수 있다.


5-2. theorem > The bound of |ζ'(s)|
σ ≥ 1 이고 t > e 일 때, 다음이 성립한다.|ζ'(s)| = O(log² t)

5-2-1. proof of theorem 5-2 >
위 정리 5-1과 같은 이유로 1 ≤ σ ≤ 2 에서 성립함을 보이면 된다. 정리 3-1의 등식을 미분하면 다음과 같다.정리 5-1과 마찬가지 방법으로 N = [t]를 대입해 계산해주면 bound가 나온다.


5-3. theorem > The bound of |ζ'(s)/ζ(s)|
σ ≥ 1 이고 t > e 일 때, 다음이 성립한다.|ζ'(s)/ζ(s)| = O(log⁹ t)

5-3-1. proof of theorem 5-3 >
σ > 2 일 때는 상수값에 bound 되므로 1 ≤ σ ≤ 2 이라고 가정해도 된다. 정리 3-4의 부등식을 변형하여 다음을 얻는다.정리 3-2에 의해 (σ - 1)ζ(σ) ≤ M 을 만족하는 어떤 M이 존재하므로 1 < σ ≤ 2 에서 다음이 성립한다. 범위에 1이 빠졌다는 사실에 주목하자.ζ(σ) ≤ M/(σ - 1)
정리 5-1에서 |ζ(σ + 2it)| = O(log t)이므로 결국 위 부등식을 조합하여 1 < σ ≤ 2에서 1/ζ 의 bound를 만들 수 있다.여기서 물론 A는 어떤 상수이다. 이를 뒤집으면 다음 부등식을 만족하는 상수 B가 존재한다.

.... (식 1)

근데 σ = 1 일 때도 성립한다. 그래서 다시 부등식의 성립범위가 1 ≤ σ ≤ 2 로 복구되었다.

1 < k < 2를 만족하는 어떤 실수 k에 대해 만약 1 ≤ σ ≤ k 가 성립한다면, 정리 5-2의 bound를 이용하여 다음 부등식이 성립함을 알 수 있다.위 부등식을 이용하여 삼각 부등식에 의해 다음 부등식이 성립한다.이 식은 물론 처음 가정에서처럼 1 ≤ σ ≤ k 일 때 성립한다. 그런데 (식 1) 때문에 k ≤ σ ≤ 2 일 때도 성립한다. 그래서 여하튼 k의 위치에 상관없이 성립한다. (개인적으로는 약간 절묘하다고 생각함)

여기서 k 값을 t 에 의존하도록 잘 맞춰줄 필요가 있는데, k 값을 다음과 같이 둔다.이 식은 충분히 큰 t 에 대해 k 값이 2 이하의 범위에 들어오게 만들 수 있다. 그 값을 t₀라 해보자. 그러면 t > t₀, 1 ≤ σ ≤ 2 일 때 적당한 상수 C가 존재해서 다음 부등식을 만족한다.|ζ(s)| ≥ C/(log t)⁷
물론 e ≤ t ≤ t₀일 때는 C 값이 달라지겠지만, 둘 중 더 작은 C를 잡으면 좌우지간 부등식은 성립한다. 이 결과와 정리 5-2를 합치면 |ζ'(s)/ζ(s)| = O(log⁹ t) 이 성립함을 알 수 있다.