이 포스트는 과거 구 네이버 블로그에 했던 포스트에 내용을 약간 첨가한 것입니다.

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ζ(x)는 통상 리만의 제타함수라 불리는데 아주 신발스러우면서 더럽게 어려운 문제인 리만가설과 관련있는 함수이다. s값의 실수부가 1보다 크면 통상 다음과 같이 무한급수의 형태로 값이 정의된다.여기서 s는 복소수인데, 복소함수의 변수는 보통 z 를 쓰지만 리만 제타함수 만큼은 유독 s 를 쓰는 것이 전통이라고 한다.

제타함수에 1을 대입하면 다음과 같은 수열이 된다.이를 harmonic series라고 한다. 매우 잘 알려져 있듯이 이 수열은 발산하는데 이 증명은 위키피디아에 잘 나와 있으니 궁금한 분은 참고하시길.

제타함수에 2를 대입하면 다음과 같은 수열이 된다.이 수열은 신기하게도 π²/6 에 수렴하는데 그 값을 구글링해보면 대략 1.64493407 근방에 떨어진다. 그 증명방법은 여러 책에 소개되어 있으니 넘어가자.

제타함수에 3을 대입할 때가 문제인데, 이 값은 대략 1.2020569... 정도 된다. ζ(2) = π²/6 이런식으로 깔끔하게 등식이 나오면 좋은데, 애석하게도 이 값을 다른 잘 알려진 상수의 조합을 이용해 딱 닫힌 형태로 나타내는 방법이 현재까지 알려져 있지 않다. 사실 이 값의 정체가 뭔지도 잘 모르고 있다가 Apéry라는 친구가 이 값이 무리수라는 놀라운 증명을 처음 제시하는 바람에 이 값은 졸지에 Apéry's constant라는 이름이 붙게 되었다. (이친구 이름을 어케 읽는지 몰겠다-_- 불어에는 까막눈이라-_-)

오, 이에 대한 한국어 위키 항목이 있었다.
http://ko.wikipedia.org/wiki/아페리_상수

암튼 이 수가 초월수라는 걸 증명하면 초대박이다. 증명을 한 사람은 까까 사줄테니 조용히 따라오기바란다.

1978년 6월에 Journées Arithmétiques라는 행사가 개최되었는데 (불어는 잘 모르지만 왠지 행사이름이 '산수로의 여행' 같지 않는가?-_-;;;) 거기서 Apéry라는 친구가 강연에서 은근슬쩍 ζ(3)이 무리수라는 증명의 개요를 떠 보았는데 (아주 신발스럽지 않을 수 없다. 지가 끝까지 풀지 왜 강연을 하고 난리야) 내용이 쪼까 복잡했는지 청중은 믿는 파와 안믿는 파로 갈렸다고 한다. 이후 H Cohen과 Don Zagier가 내용을 다듬어 그해 8월 헬싱키에서 열린 국제수학자회의에서 증명이 소개되었다 한다.(둘다 초 슈퍼 싸이코스럽게 똑똑한 친구들이라 그러더라 코헨은 잘 몰겠고 자귀에는 정수론 쪽에서 이름 좀 있는 친구라 한다. 암튼 똑똑하기로 전설적인 인물들이다.) 그래서 증명은 Apéry의 아이디어를 기본적으로 쓰지만 그 두 친구의 아이디어 또한 쓰이고 있다. 그러나 역사는 애석하게도 들러리를 기억하지 않는다-_- 결국 이 상수의 이름은 Apéry's constant가 되고 만 것이다.

원래 오리지널 증명은 좀 길던데 귀찮아서 읽는건 포기했다-_- 일전에 원주율의 무리수성을 기교를 동원해 매우 간단하게 증명하는 방법을 소개했는데, 마찬가지로 기교를 동원하여 증명을 매우 짧게 할 수 있다. 그 증명이 Beukers, F. "A Note on the Irrationality of ζ(2) and ζ(3)." Bull. London Math. Soc. 11, 268-272, 1979. 에 나와있는 내용이다. 이 논문을 읽고 사실은 노가다를 감수하며 여기에 설명하려 했는데 찾아보니 어떤 친절한 친구가 원래 논문이랑 내용은 똑같으면서 원래 논문보다 좀 더 친절하게 설명해 놓은 pdf 파일을 찾아서 그걸 첨부한다. 마지막에 homework까지 있는 센스-_-;;;넘치는 증명이다.
Math785Notes4.pdf

논문에는 있지만 첨부파일에는 없는 설명을 쪼금 하자면...

d_n을 1부터 n까지 자연수들의 최소 공배수라 하면가 되는데 π(n)은 n보다 작은 소수의 개수이고 [x]기호는 x를 넘지않는 정수를 의미한다. 마지막 n^π(n)은 졸라 큰 n에 대해 3ⁿ보다 작다고 논문에서 뜬금없이 주절거려 놓았던데 내 생각에 그 이유는 이럴 것 같다. 소수의 개수는 n/log n과 비슷하니까(prime number theorem) 양쪽에 로그를 때린 다음에 π(n)을 n/log n으로 바꾸면 n^π(n)은 n이 되고 3ⁿ은 n log3 이 되니까 log3 > 1 -_-;;;;;

첨부파일에는 뜬금없이 d_n이 2.8ⁿ 보다 작다고 돼있는데 2.8 > e 이니까 아무래도 위의 내 통밥 굴리는 설명-_-이 맞는 듯 하다.

암튼 알아서 읽고 싶은 사람은 읽기 바란다.-_-