무한급수의 수렴성을 판정하는 테스트법으로 가장 기초적인 두 방법이 있는데, Root test와 Ratio test가 그것이다. 전자는 n번째 항을 n제곱근한 값의 극한이 1보다 작으면 수렴, 크면 발산하는 것이고, 후자는 n+1번째 항을 n번째 항으로 나눈 비율이 1보다 작으면 수렴, 크면 발산하는 것이다. 둘 다 극한값이 1일 때는 아무런 정보를 주지 않는다.

그런데 사실 Ratio test보다 Root test가 더 강력한 판정 테스트가 되는데, 그 이유는 이 책에서 lim_n→∞ a_n+1/a_n의 값이 존재하면 그 값은 lim_n→∞ a_n^1/n과 같기 때문이라고 돼 있다. 왜 그런지는 책에 안 설명돼 있는데 좀 생각해 보니, 직관적으로 이전항의 약 k배 한 값이 다음 항이라면 근사적으로 n항 뒤쪽의 값은 kⁿ이므로 이것을 n제곱근 하면 k가 되는 것이다. 조금 엉성하긴 하지만 다듬으면 엄밀하게 증명할 수 있을 것 같은데 패스하자-_-

어쨌든 여기서 발생할 수 있는 의문이, 그러면 Ratio test는 실패하지만 Root test가 통하는 예가 있는가 하는 것이다.
Series for which the root test succeeds and the ratio test fails.

counterexamples 정답보기