초등기하학을 배우면 반드시 '작도'라는 통과의례를 거친다. 눈금없는 자와 컴퍼스만을 가지고 원하는 도형을 그려내는 일종의 미션인데, 왜 많은 기구중 '눈금없는 자'와 '컴퍼스'인가를 묻는다면 그것은 그냥 전통이라고 밖에 설명할 길이 없다. 그냥 고대인이 그 두 물건으로 기하학적 도형을 그리는 것이 가장 단순하면서도 정확하다고 생각한 듯 하다. 옛날에는 눈금이라는 척도가 무척 허술했을 테니 말이다. 요즘은 눈금있는 자로 걍 재는게 정확하지 않을까. ㅎㅎ

그런데 1797년에 Mascheroni는 재미있는 결과를 발표한 바가 있으니, 바로 모든 작도가능한 초등기하학적 도형은 컴퍼스 만으로도 가능하다는 증명이다. 물론 최종적으로 직선을 요구하는 부분은 직선을 그릴 수 없으므로 요구하는 직선위의 두 점을 찾는 것으로 충분하다고 설정하는 것이 필요하다. 사실 두 점이 결정되면 직선도 결정되니까 문제는 없다. 이 정리는 Mohr-Mascheroni Theorem라 부르는데 후에 Mohr이 1672년에 먼저 증명한 것이 밝혀졌기 때문이다. 음.. 요런 흥미로운 증명이 100년 이상 묻히다니. ㅋ

그 증명은 초기에는 복잡했다고 하지만 지금은 상당히 단순해져서 길지 않은데 어렵지 않다. 업로드 한 번 해 볼 테니 읽어보기 바란다.
a-short-elementary-proof.pdf : 출처

그렇다면 직선자는 어떨까? 애석하게도 직선자만 가지고는 원으로 만들 수 있는 점을 만들 수 없는 경우도 있기 때문에 불가능하다. 그 이유는 생각해 보면 간단히 알 수 있는데 1차 곡선의 교점들은 1차 연립방정식의 해들로만 구성될 수 밖에 없고 따라서 계수가 유리수라면 유리수 범위를 탈출할 수 없다. (이해가 될런지?) 원은 2차곡선이고 2차방정식의 해는 무리수도 될 수 있으므로 직선자만으로는 찍을 수 없는 점이 존재하는 것이다. 그런데 Jakob Steiner라는 친구가 중심이 알려진 원 하나가 그려지면, 작도가능한 모든 기하학적 도형은 직선자만 있어도 가능하다는 것을 증명했다. 이 정리는 Poncelet-Steiner theorem라는 정리인데, 증명을 본 적은 없다. 이거 영어로 된 간단한 증명 없을라나. ㅋ (원 증명은 독일어로 된 듯.)

이 Steiner는 원의 중심이 필수요소라는 것 까지 증명을 했다. (즉, 원의 중심을 모르면 작도할 수 없는 것이 있다) 또한 중심을 몰라도 두 점에서 만나는 두 개의 원, 또는 임의의 세 개의 원이 있어도 마찬가지로 충분하다는 것을 증명했다고 하던데, 도통 증명을 찾을 수 없네. 그려.

아무튼 그래서 시험삼아 주어진 직선과 직선위에 있지 않은 점이 있을 때 점을 지나고 직선에 평행한 선을 찾는 작도를 컴퍼스만으로 해 보려고 했는데 처음에는 이게 잘 안 되는 것이었다. (물론 증명의 construction을 따라가도 되지만 너무 삽질이므로 ㅋ) 그러다가 갑자기 아!! 하면서 작도가 되어버렸다. 그리고 그 다음에는 원 하나 그려 넣고 직선자만으로 똑같은 작업을 해 보려 했는데 이건 도저히 모르겠다. 이거 Steiner 이 친구 증명 틀린거 아냐? -_- 흑. 한 번 풀어보시라!

아, 그리고 인터넷에 각의 삼등분 같은거 작도 했다고 우기는 가짜 수학자들 많으니 낚이지 말고 조심하시길. 특정한 어떤 각을 제외한 임의의 각의 삼등분은 작도로 불가능하다.